¿Dónde o cuándo?

Hace unos días, me encontraba conduciendo desde Badajoz hasta Madrid sumido en pensamientos astrofísicos (normal, nos pasa a todos, ¿no?) cuando al pasar por un radar y comprobar mi velocidad (dentro del límite, chicos, como tiene que ser) me vino a la mente una posible escena de nuestra serie favorita Big Bang, que habría sido muy propia de Sheldon, y que quizá podríais usar para libraros de una multa por exceso de velocidad… Imaginad que váis conduciendo vuestro vehículo sin percataros de que habéis sobrepasado el límite de velocidad. En ese momento, pasáis junto a un radar, que os caza. En ese momento, un policía motorizado sale en vuestra busca, con las sirenas puestas, y os ordena parar en el arcén. Vosotros (que tampoco sois unos fugitivos en potencia) os paráis. El policía se acerca a vuestra ventanilla y, como si fuera una película americana, os pregunta:
“- Señor, ¿sabe usted a qué velocidad se encontraba cuando pasó por el radar que hay camuflado junto a aquel arbusto?”
Una persona normal, probablemente diría: “- No tengo ni idea”. Pero Sheldon diría:
“- ¿Dónde le han dado su placa? ¿Es que no le han enseñado nada en la academia? ¿No sabe usted que es imposible determinar correctamente la velocidad a la que me encontraba si fijamos exactamente mi posición al pasar junto al radar? O si prefiere, es imposible saber que estaba pasando por el radar justo cuando llevaba una velocidad determinada”.

Efectivamente compañeros, aunque es una extrapolación del mundo atómico y de la mecánica cuántica, este efecto se conoce como Principio de Incertidumbre, o Principio de Indeterminación de Heisenberg.

Heisenberg en acción

Heisenberg en acción

El Principio de Incertidumbre nos dice que, a escalas atómicas y subatómicas, es imposible determinar con total exactitud la posición de una partícula, sin tener una total indeterminación sobre su velocidad. O lo que es lo mismo, no podemos calcular dos variables canónicas conjugadas (posición-impulso, energía-tiempo, …, etc.) consiguiendo una precisión absoluta, ya que en ambas mediciones estaremos introduciendo un error y dichos errores se multiplicarán y oscilarán en torno a un valor medio. Esto se debe a la propia naturaleza de la mecánica cuántica, que es intrínsecamente estadística, y sólo nos permite conocer distribuciones de probabilidad de los cálculos.

Matemáticamente, se traduce en que el producto de la desviación estándar de la posición y del momento observador en las distribuciones estadísticas de los mismos, es mayor o igual que la constante de Planck (enlace a la wiki) dividida por 4π. Osea:

Fórmula para la posición y el momento

Fórmula para la posición y el momento

Donde plank es la constante de Planck dividida por 2π.
Esta teoría supuso toda una revolución en un mundo dominado por la física determinista newtoniana, ya que dejaba en manos del azar todos los sucesos acaecidos en el Universo, y nos decía que sólo podíamos conocer determiandas probabilidades de los mismos, con un error que no podíamos eliminar. Aunque Albert Einstein siempre afirmó que “Dios no juega a los dados“, lo cierto es que hoy día es ampliamente aceptado el hecho de que, a niveles subatómicos, las fuerzas que encontramos no pueden ser explicadas mediante las antiguas leyes válidas para calcular el movimiento de los planetas, o la caída de una manzana…  Esta imposibilidad de trasladar las leyes del mundo macroscópico al microscópico, se acentúan si consideramos la teoría de cuerdas, a escalas aún mucho menores que el tamaño del átomo… Pero eso merece otro capítulo 🙂
Así que ya sabéis, la próxima vez que alguien os llame por teléfono y os diga: ¿dónde vas a estar dentro de media hora? Podréis decirle con toda la razón que no lo sabéis, o al menos no sin considerar un error directamente proporcional a la velocidad de la luz… 🙂

7 Comments

  • Eneko dice:

    No es necesario recurrir a la mecánica cuántica para encontrar esta indeterminación en un radar.

    Si queremos determinar la distancia de un objeto, usamos la clásica técnica de radar que nos enseñaron en el colegio: le enviamos un pulso en radiofrecuencia y medimos el tiempo que tarda en recibirse el eco. Entonces nos damos cuenta de que la anchura del pulso nos crea una indeterminación en la medición de este tiempo, y por tanto en la distancia. Tendremos mejor precisión cuanto más estrecho sea el pulso.

    En cambio, si queremos medir su velocidad usaremos un radar Doppler: enviamos una señal continua de frecuencia f1 bien controlada y comparamos esta frecuencia con la del eco recibido (f2), de donde obtenemos su velocidad. En este caso lo que queremos medir con precisión es |f1-f2|, lo que haremos contando los ciclos (número entero) que recibimos en cierto intervalo de tiempo. Entonces descubrimos que cuanto menor sea este intervalo peor es la precisión de la medida, por lo que nos interesa tener un tiempo largo de medición.

    Si queremos medir tanto la velocidad como la posición, enviamos un pulso de frecuencia cuidadosamente controlada y medimos tanto el tiempo que tarda en aparecer el eco como la variación que ha sufrido su frecuencia. Ahora nos encontramos con que cuanto más corto sea el pulso mejor será la precisión de la distancia pero peor la de la velocidad. Y viceversa, claro.

  • Leonard dice:

    Hola Eneko!
    Muchas gracias por tu comentario.
    Efectivamente, como comentas, si el pulso que se envía es demasiado ancho, tendremos más incertidumbre en la posición, y si el pulso es estrecho, sabremos con mayor precisión la posición, aunque el tiempo entre pulsos nos dejará con mayor incertidumbre sobre la velocidad (interesa una frecuencia muy alta para minimizar en la medida de lo posible estos valles en la señal).
    Aunque en tu comentario indicas que “cuanto menor sea este intervalo, peor es la precisión de la medida”, y no llegamos a comprender esta afirmación. Si te refieres al intervalo de observación de la frecuencia recibida, en principio (idealmente) valdría con un ciclo de la señal recibida para observar su frecuencia. Si bien es cierto que podrían observarse varios ciclos y obtener una frecuencia media (¿te refieres a esto?). O quizá te refieres al hecho de que a mayor anchura del pulso, pueden producirse más errores a la hora de determinar cuándo se da por enviado y recibido el pulso (dentro de la “cresta” del período). Nos encantaría que nos aclararas estos aspectos.
    Muchas gracias por tu participación!!

  • Eneko dice:

    El problema es medir con precisión la frecuencia recibida “fr” (para calcular la velocidad a partir de la desviación que ha sufrido, por el efecto Doppler). Como tú dices, idealmente sería suficiente medir un ciclo, pero resulta que nuestro reloj tien una precisión finita. Un reloj parte de una señal de referencia “fclk” (con frecuencia conocida y muy estable) y lo que haría en este caso sería contar los ciclos de su señal de referencia en un periodo Tr=1/fr y de aquí obtenemos fr=fclk/N.

    El problema es que N será siempre entero, y aquí es donde tenemos la pérdida de precisión porque debería cumplirse que N=fclk/fr pero fclk/fr es un número real.

    Por eso de aumenta el tiempo de observación: si medimos M periodos de la señal de la antena obtendremos un nuevo valor N=M*Tr/Tclk=M*fclk/fr, de donde sale fr=fclk*M/N. Y claro, el truco es que el número racional M/N se va aproximando al valor real al aumentar M y N.

    Espero haberme explicado con claridad esta vez.

  • Eneko dice:

    La explicación anterior viene dada desde el punto de vista práctico, pero a nivel teórico hay otra: la transformada de Fourier de un pulso de poca duración tiene un gran ancho de banda, mientras que la de un pulso largo ocupa una banda estrecha.

    Si la señal fuera infinitamente larga en el tiempo su espectro sería infinitamente estrecho, es decir, ocuparía exactamente una raya en el espectro de frecuencia. Pero al acortar el pulso de ensancha su espectro, y entoncesno está definida exactamente su frecuencia.

    Por contra está el problema dual: una señal infinitamente corta en el tiempo (lo que queríamos para determinar exactamente la posición) tiene un ancho de banda infinito, y ¿quién puede manejar eso?

  • Leonard dice:

    Buenas!
    Exacto, eso es lo que estuve comentando con Sheldon después de leer tu comentario, nosotros lo pensábamos en el dominio de la frecuencia y según lo veíamos, nos parecía que contradecía tu primera intervención, porque no sabíamos que te referías al reloj de observación. Efectivamente, la frecuencia de dicho reloj es determinante a la hora de tener mayor o menor precisión en la medida, y es algo que hay que tener en cuenta. No lo habíamos calculado con transformadas de Fourier y convoluciones (ya tuvimos demasiadas en la carrera!! 😀 ).
    De hecho, gracias a tu intervención, se me ocurre un posible nuevo post para relacionar la relación entre frecuencias con los fenómenos de interferencias.. humm.. trabajaré en ello!!
    Muchas gracias! Saluditos 🙂

  • Sheldon respondería: “No se a que velocidad iba, pero sabía exactamente donde estaba….”

    Leido por ahi hace mucho tiempo.

  • […] esto mediante el Principio de Incertidumbre de Heisenberg (que dice, básicamente, que no se pueden determinar con la misma precisión la […]

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