Mariposas, fractales, atractores… ¡qué caos!

¡Buenas tardes queridos lectores!

De nuevo en Átomos y Bits volvemos a la carga con un post que llevaba tiempo queriendo escribir. A menudo hablamos sobre diferentes teorías matemáticas, físicas, ecuaciones, etc., que no siempre se encuentran con facilidad en la vida diaria (o mejor dicho, no nos percatamos de que están ahí tan fácilmente). En esta ocasión, no quería dejar pasar la oportunidad de compartir con vosotros mi verdadera admiración hacia el conocido “Efecto Mariposa“.

El Efecto Mariposa dice básicamente que el aleteo de una mariposa en un lugar del mundo, podría llegar a desatar un huracán en el otro extremo del globo. Esto no es más que una forma elegante de referirse a una realidad englobada en el marco de la Teoría del Caos. La base del efecto mariposa subyace en que una ligera variación de las condiciones iniciales en un sistema puede provocar grandes variaciones en los resultados finales del mismo. Pero no siempre se darán las condiciones para que esto ocurra, como veremos a continuación.

Ya en la carrera nos hablaron de sistemas estables e inestables, que es una forma de aproximarse a los efectos que la Teoría del Caos puede tener sobre las telecomunicaciones (por ejemplo). Pero si nos centramos en la física tradicional, la clasificación que podemos hacer de los sistemas es un poco diferente. Cuando tratamos sistemas dinámicos (esto es, los que sufren alguna variación de sus condiciones desde el momento inicial), podemos observar tres comportamientos diferentes:

  • Sistemas estables: se llaman así aquellos cuya variación les hace tender a un estado/posición a lo largo del tiempo. Podemos interpretarlo como que presentan un atractor que les llevaría a un estado menor de energía y, por tanto, más estable para ellos. Imaginémoslo como si dejáramos rodar una canica en el borde de un tazón de cereales: después de varios giros, ascensos y descensos por el interior del tazón, la canica tenderá a asentarse en el fondo del mismo.
  • Sistemas inestables: el lado opuesto. Tienden a escaparse de su atractor, y se caracterizan entre otras cosas porque una pequeña variación en sus condiciones iniciales puede llevar a muy diferentes estados finales.
  • Sistemas caóticos: se encuentran a caballo entre los anteriores. Los atractores hacen que tiendan hacia ellos, pero se encuentran otra serie de factores que les alejan de dichos “puntos”. Por tanto el resultado queda delimitado por una zona de influencia de ambas componentes, de la cual el sistema no podría salir, pero dentro de la cual su estado concreto es impredecible (esto nos recuerda al Principio de Incertidumbre…)

Para que un sistema sea caótico, debe cumplir una serie de características, como contar con un elevado número de órbitas que compongan un conjunto denso en una región compacta del espacio. Pero además, como se comentó anteriormente, deben ser sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Dicha sensibilidad se relaciona con el Exponente Lyapunov, que determina el grado de separación de trayectorias infinitesimalmente cercanas en el espacio, aunque dicha separación puede ser diferente, según las orientaciones iniciales de dos trayectorias dadas (imaginemos un cilindro que será nuestra trayectoria inicial; una segunda trayectoria será un cilindro cercano al anterior, pero con una orientación diferente, que se separará del inicial de una forma u otra dependiendo de la posición relativa a él, ya que podemos situarlos en infinitas posiciones uno respecto al otro). Ello nos da una colección de diferentes valores del exponente, aunque se trabaja con el mayor de ellos (que será el que tenga mayor peso a la hora de predecir futuros estados del sistema).

En cuanto a atractores, podemos hablar largo y tendido sobre ellos, y podrían suponer en sí mismos otro post completo. Si observamos la evolución en el tiempo de un sistema, podemos representar una serie de puntos que forman una trayectoria en el espacio de estados. Cuando el tiempo tiende a infinito, la trayectoria sólo ocupará un subespacio del espacio de estados, denominado atractor. El atractor es la representación geométrica de la dinámica del sistema en el tiempo; los atractores pueden ser caracterizados por sus dimensiones. Un atractor de dimensión 0 corresponde a un sistema estático: el sistema no cambia en el tiempo. Un atractor de dimensión 1 corresponde a un sistema periódico, en el cual un número finito de estados se repiten indefinidamente. Un atractor de dimensión 2 y mayores corresponde a un sistema cuasi-periódico. Un ejemplo típico de atractor periódico es el que puede guiar el movimiento de un péndulo (en el que influirán muchos otros factores externos que en conjunto definirán la posición exacta del péndulo en cada momento, alrededor de un punto central). Además de estos, existen los atractores extraños, que definen trayectorias más complicadas en el espacio de estados del sistema. Uno de los más conocidos es el Atractor de Lorenz, presente en el estudio que Edward Lorenz desarrolló en los años 60 sobre un modelo tridimensional para el conocimiento del comportamiento atmosférico.

Atractor de Lorenz

Atractor de Lorenz

Relacionado con todos los conceptos introducidos hasta ahora, encontramos la parte más “artística” de la Teoría del Caos: los fractales. Un fractal viene a ser la representación gráfica del comportamiento de un sistema caótico, y se caracteriza por su autosimilitud (sus partes tienen la misma forma que el todo, pero a diferentes escalas). No hace falta que la autosimilitud sea exacta para poder aceptar un patrón como fractal. De hecho, la propia definición de fractal es algo sobre lo que hay multitud de versiones y ninguna de ellas ofrece una visión lo bastante amplia como para que englobe todos los tipos de fractales existentes. Algunos de los más conocidos son los Conjuntos de Julia, el Copo de nieve de Koch, los fractales Mandelbrot, etc.

Fractales de Lorenz proyectados

Fractales de Lorenz proyectados

Conjunto de Julia

Conjunto de Mandelbrot

Copo de nieve de Koch

Copo de nieve de Koch

Como recurso útil, os dejamos esta dirección http://www.apophysis.org/downloads.html en la que podéis obtener el programa Apophysis, freeware, para que comencéis a realizar vuestros fractales y disfrutéis de estas representaciones matemáticas tan vistosas. Otro programa “ready-to-go” es el Sterling2, que podéis encontrar en http://soler7.com/Fractals/Sterling2.html y que os permitirá crear fractales en cuestión de segundos.

Por último, para acabar con este post, me gustaría hablar de la parte humana del Efecto Mariposa. Reconozco que me gusta pensar en ello, casi de manera enfermiza, y empezar a quebrarme los sesos pensando: “¿Donde estaría yo ahora si hubiera hecho tal o cual?”, “¿Qué pasaría si esta mañana hubiera ido en metro en vez de en coche al trabajo?”, “¿Qué pasaría si no hubiera enviado ese SMS aquel día a aquella persona?… Creo que muchas personas no son conscientes de que un pequeñísimo cambio en cualquiera de estas tonterías diarias, puede suponer un giro de 180º en sus vidas. No sé si vosotros creéis en el destino o no, a mi me gusta pensar que estoy donde estoy gracias a una serie de carambolas que me han traido hasta aquí, quizá porque una mariposa estaba volando en Australia. Por eso, nos gustaría que aquellos que leáis este artículo y os sintáis identificados con ello, dejéis un comentario con alguno de estos momentos “tontos” que habéis tenido y que creéis que han cambiado para siempre vuestra vida… ¡nos encantaría conocerlos!

Empiezo yo: si hace unos años no me hubiera conectado a un programa de simulador de control de tráfico aéreo para pasar un rato, probablemente no conocería a Sheldon, y no seríamos compañeros de trabajo, y… ¡cuántas cosas nos estaríamos perdiendo! ¡Vosotros no podríais disfrutar de Átomos y Bits! 😛

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11 Comments

  • […] Mariposas, fractales, atractores… ¡qué caos!www.atomosybits.com/2009/09/16/efecto-mariposa-y-teoria-del-… por rudolf09 hace pocos segundos […]

  • Molly dice:

    ¡¡Qué buen post!! Un tema que da para discutir largo y tendido.

    Y muy buen blog 😛 Los encontré de casualidad (efecto mariposa?) pero ya están en mi igoogle.

    Historias de causalidades tengo miles. Sin ir más atrás en el tiempo, si ayer no hubiera cerrado la puerta de mi cuarto, o me hubiera ido a dormir media hora más tarde, o me hubiera quedado viendo una peli, habría llegado a atender el teléfono y ahora no estaría preocupada por dónde está mi amigo y podría estudiar tranquila.

  • Leonard dice:

    ¡Hola Molly!
    ¡Muchas gracias por tu comentario! y por tu buena crítica, la verdad es que lo agradecemos mucho, es genial ver que hay personas a las que les interesan nuestros contenidos!
    Espero que tu amigo esté bien, y que cuando sepas qué pasó con él nos lo cuentes para quedarnos tranquilos. Seguramente le haya afectado otro efecto mariposa, afectado a su vez por otro, afectado por otro… quién sabe, quizá si hace un año hubiéramos cenado ensalada en vez de pizza, ¡ahora seriamos ricos!
    ¡Un saludo, hasta pronto!

  • Fenix dice:

    Me encanta este blog, lo descubri de casualidad gracias a malaciencia. Yo tambien pienso como tu respecto a lo del destino, de hecho tengo la teoria de que la vida es como los videojuegos de Rol,estos que tienen varios finales y que veras el tuyo dependieno de las decisiones que tomes, solo que nosotros en lugar de tener 5 finales tendremos infinitos. No obstante depende de nosotros cual sea el nuestro.Yo espereo que me toque el bueno aunque ahora debo estar en el nivel chungo y necesito irme a ” luchar” con algun monsturo de las afueras para aumentar mi experiencia ja ja.Un saludo y suerte

  • Leonard dice:

    ¡Hola Fenix!
    Muchísimas gracias por tu comentario, nos alegra que te guste nuestro blog, ¡y que te animes a participar con comentarios! 🙂
    La verdad es que sí, como bien dices a veces parece que la vida es como un videojuego (muy trabajado) con diferentes finales en función de nuestras decisiones. Yo a veces pienso que conforme nos hacemos mayores, el número de finales diferentes al que podemos optar es menor, porque quedan menos “decisiones trascendentales” que tomar cuando vamos envejeciendo, aunque si consideramos toda la vida, el número de posibilidades parece infinito, cualquier mínima decisión que tomemos siendo jóvenes puede acabar afectando de manera impredecible al resto de nuestro futuro…
    Uff, ¡¡bonita forma de empezar la semana!! Si empezamos con estos pensamientos profundos, ¿cómo estaremos el domingo? 🙂
    ¡Un saludo!
    Leonard.

  • Byron dice:

    Soy un asiduo lector de temas que se relacionan con la ciencia y tecnología, me ha resultado muy agradable leer la excelente exposición de estos temas, con enfoques claros, concretos y cortos; particular interés me genera el tema de los fractales y anexos de este tema, por su desarrollo e implicaciones que permite esta increíble rama de las matemáticas. La teoría del caos me resulta desconcertante dada sus aplicaciones en tantos campos de la ciencia y de la propia naturaleza; sin embargo, relacionar ese principio conocido como el “efecto mariposa” con la casualidad de nuestros actos o posibles actos y sus alcances, que podrían terminar, ciertamente, en resultados totalmente opuestos, no me resulta muy claro, pero probablemente pueda relacionarse dentro de un contexto general estadístico de nuestros actos.
    Cordiales saludos xD.

  • Anónimo dice:

    ola la verda esto es lo mejor que e leido igan asi

  • Leonard dice:

    Muchas gracias!! 🙂 Nos alegramos de que te haya gustado, y esperamos verte a menudo por aquí!!
    Un saludo y hasta muy pronto!

  • Forex dice:

    Tu análisis es muy avanzado y sencillo de comprender a la vez, felicitaciones

  • Muchas gracias! Me alegro de que te haya gustado.
    Si te gustan nuestros artículos, puedes seguirnos en Facebook: http://www.facebook.com/pages/%C3%81tomos-y-Bits/118115561548476?fref=ts

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    Saludos!!

  • […] 3. Un tercer dominio teórico es el de la “geometría de fractales” que se derivó de las experiencias que en el año 1958 tuvo Benoit Mandelbrot cuando ingresó a trabajar en los laboratorios de la IBM para hacer un análisis del ruido y perturbaciones eléctricas. Mientras realizaba dichos estudios encontró un patrón en el comportamiento de tales perturbaciones y por lo tanto comenzó a descifrar una estructura escondida. Algo así como jerarquías de fluctuaciones en todas las escalas. Mientras seguía adelante con sus trabajos empezó a imaginar la posibilidad de que otros sistemas podrían expresarse o interpretarse con patrones similares que no puedan ser descritos con exactitud por la matemática existente y que se comportaran de igual manera. Esto lo llevó a observar distintos ámbitos del mundo real y matemático que lo condujeron a la formulación  de la “Teoría de Fractales en un voluminoso texto de más de 600 páginas –La geometría fractal de la naturaleza- en 1977. Conjunto de Mandelbrot. Fuente: Átomos y bits. […]

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